1143. 最长公共子序列：LCS，又是一个经典但又套路的公式化动态规划问题.md

题目简述：

给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长 公共子序列 的长度。如果不存在 公共子序列 ，返回 0 。

一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。

• 例如，"ace" 是 "abcde" 的子序列，但 "aec" 不是 "abcde" 的子序列。

两个字符串的 公共子序列 是这两个字符串所共同拥有的子序列。

题目链接：1143. 最长公共子序列

动态规划思路

这又是一个典型的动态规划应用。

首先，让我们公式化地定义 $dp[i][j]$ 为 text1 前 $i$ 个字符组成的子串与 text2 前 $j$ 个字符组成的子串之间的最长公共子序列长度。之所以这样定义（而不是让索引从 $1$ 开始）是为了方便初始化与避开单独处理边界条件，本质上利用了哨兵机制。

我们来分析一下该问题如何拆解为子问题，或者是分析一下由哪些子问题可以进一步作为其父问题的解。

• 如果 $\text{text}1[i]=\text{text}2[j]$，则 $dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1$
• 如果 $\text{text}1[i]\neq\text{text}2[j]$，则 $dp[i][j]=\max\big{dp[i][j-1],dp[i-1][j]\big}$
• base case：$dp[\ast][0]=dp[0][\ast]=0$

虽然被标记为hard，但这样分析下来是不是感觉也不是很难呢？

Java代码

class Solution {
    public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {
        int[][] dp = new int[text1.length() + 1][text2.length() + 1];
        for (int i = 1; i < text1.length() + 1; i++) {
            for (int j = 1; j < text2.length() + 1; j++) dp[i][j] = text1.charAt(i - 1) == text2.charAt(j - 1) ? dp[i - 1][j - 1] + 1 : Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
        }
        return dp[text1.length()][text2.length()];
    }
}

该算法的时间复杂度为 $O(n^2)$，空间复杂度为 $O(n^2)$，可以通过滚动数组优化至 $O(n)$，但我懒得改了，动态规划问题里状态转移的逻辑才是最重要的。